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Gammes et tempéraments

3 - La gamme de Pythagore

Par Gilles Patrat

Cette gamme fut théorisée à partir d’expérimentations faites sur le monocorde, lequel aurait été inventé par Pythagore pour servir cette recherche, mais il est vraisemblable que le monocorde préexistait, notamment en Egypte. Quoi qu’il en soit le monocorde sera utilisé pendant la bagatelle de 24 siècles comme moyen d’expérimentation musical (Rameau utilisait encore le monocorde…). Jacques Dudon a pour sa part imaginé un monocorde avec des résonateurs sélectifs… (sacré Jacques…)

Cette gamme n’a peut-être pas été élaborée par Pythagore mais a pu être extrapolée de ses travaux...

Tableau 1

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Tableaux 1 & 2
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On choisit arbitrairement un degré de départ. On multiplie sa fréquence par le rapport 3/2 et l’on obtient sa quinte naturelle. On recherche le degré suivant à partir de ce dernier en le multipliant à son tour par 3/2. etc.… Soit par exemple la3 = 440 Hz. La quinte naturelle mi est égale à 440 x (3/2) = 660 Hz et la quinte de la quinte si (la neuvième) est égale à 440 x (3/2) x (3/2) = 440 x (3/2)2 = 990 Hz.

- La gamme de Pythagore est en limite 3. il s’agit d’un empilement de quintes naturelles (ligne 1 du tableau).
- La gamme de Pythagore peut donc être définie par une succession de puissance de 3/2 (ligne 2 du tableau).
- La ligne 3 présente le même résultat calculé.
- La ligne 4 rend compte du rapport à l’intérieur de l’octave de chaque degré avec le fondamental, il suffit pour ce faire d’ôter autant d’octaves que nécessaire. Prenons par exemple la cinquième quinte, si, qui se trouve à 2 octaves plus une septième du fondamental. Sa valeur est (3/2)5 à laquelle j’ôte la valeur de 2 octaves (4/1). Soit 243/32 moins 4/1 → (243x1)/(32x4) = 243/128.
- La ligne 5 exprime, en Cents, la différence entre la gamme de Pythagore et le tempérament égal.

Tableau 2

Les degrés sont remis dans l’ordre et la ligne 2 exprime le rapport d’un degré avec le précédent.


Les différentes valeurs de la Gamme Pythagoricienne

Le Comma Pythagoricien (ou ditonique, ou diatonique)

Le si# (3/2)12, produit par l’empilement de 12 quintes naturelles sur le do, n’est pas égal au do produit par l’empilement de 7 octaves. la comparaison de ces deux termes montre une différence appréciable par l’ouïe et objectivable par le calcul. 12 quintes naturelles valent : (3/2)12 = 532441/4096 soit 8423,5 Cents.
7 octaves naturelles valent : (2/1)7 = 128/1 soit 8400 Cents. Le si# est plus haut que le do de 23,5 Cents environ. C’est le Comma pythagoricien qui s’exprime comme suit : (3/2)12 - (2/1)7= 531441/524288.

Nous parlons couramment du cycle des quintes, ce qui est vrai s’agissant de quintes tempérées égales, mais il faudrait parler de spirale des quintes dès lors qu’elles sont pures…

Le Comma Syntonique (ou ptolémaïque, ou zarlinien)

L’empilement de 4 quintes pures produit une tierce pythagoricienne (en partant de do → do, sol, ré, la, mi) qui diffère de la tierce naturelle d’un Comma syntonique.

Soit 4 quintes pures : (3/2)4 = 81/16. Moins deux octaves (pour ramener le rapport à l’intérieur d’une octave) 4/1 → 81/64. Comparé à 5/4 (tierce naturelle), nous trouvons comme valeur du Comma syntonique : 81/80.

La tierce pythagoricienne est plus haute que la tierce naturelle de 21,5 Cents (valeur du Comma Syntonique) et plus haute que la tierce du tempérament égal de 7,8 Cents.

La tierce naturelle est donc inférieure à la tierce tempérée de 13,7 Cents.

Quelques remarques sur les Commas

Le Comma pythagoricien (23,5 Cents) est caractéristique de la gamme de Pythagore, tandis que le Comma syntonique (21,5 Cents) est plutôt caractéristique de la gamme d’Aristoxène.

Il existe de nombreux Commas différents, Comma maxime, Comma magne… Mais seuls les Commas pythagoriciens et syntoniques sont importants pour notre étude.

Le Schisma

Les valeurs de ces deux Commas sont proches. Le Schisma est la différence entre ces deux Commas.
Soit 531441/524288 - 81/80 = 2657205/2654208. Le Schisma vaut 2 Cents.

Ces Commas et le Schisma ne sont pas des valeurs musicales.

Le Ton

Il n’existe dans la gamme pythagoricienne qu’un seul ton et son rapport est 9/8. Il vaut 203,9 Cents et est donc plus grand que le ton égal de 3,9 Cents.
Le ton pythagoricien est aussi appelé grand ton.

Le Limma

On nomme Limma le demi-ton diatonique de la gamme pythagoricienne (par ex. de do à réb). Cet intervalle est exprimé par le rapport 256/243, ce qui fait 90,2 Cents.
Il est plus petit que le demi-ton égal de 9,8 Cents.
Le Limma est parfois appelé Diaton-Limma.

L’Apotome

C’est le demi-ton chromatique de la gamme pythagoricienne (par ex. de réb à ré). Sa valeur est naturellement d’un ton moins un Limma, ce qui fait : (9/8) - (256/243), soit 2187/2048. Sa valeur est de 113,7 Cents.

Il est plus grand que le demi-ton égal de 13,7 Cents et si on le compare au Limma, la différence est d’un Comma pythagoricien entre les deux, soit (2187/2048) - (256/243) = 531441/524288.

L’apotome est parfois appelé Chromate-Apotome.

Usages et non-usages de la Gamme de Pythagore

En Chine

Du temps de Pythagore , cette gamme existe déjà depuis plusieurs siècles en Chine où elle trouve une origine symbolique et magique. Mais quelles que soient ces explications données à posteriori, l’agencement de l’échelle est identique à la gamme de Pythagore et c’est bien par calcul qu’elle fut construite.

Cette gamme est organisée par rapport au degré-origine et la référence à la tonique est importante. Les quatre premiers pas font entendre un pentatonique anhémitonique (sans demi-tons), soit do ré mi sol la (en partant de do). Il s’agit là d’un véritable archétype, omniprésent dans quasiment toutes les traditions musicales à travers le monde. Cette récurrence montre assez que les gammes se sont générées de la même façon…

Ce sont d’ailleurs les seuls degrés réellement utilisés par les chinois, l’échelle pentatonique étant générée depuis l’un quelconque des 12 degrés.

Dans le cas de la Chine, le modèle est théorique et pratique. Il est toujours en usage pour la musique traditionnelle.

En Grèce

Le système musical des grecs anciens est extrêmement complexe, et cette étude n’a pas sa place ici. Mais on peut tout de suite préciser que contrairement à la Chine, la gamme de Pythagore est purement théorique, puisque les Grecs n’exploitent pas cette échelle telle quelle dans leur pratique musicale. En fait les gammes utilisées sont extrapolées de la gamme d’Aristoxène, que nous verrons plus loin.

A Travers les Temps

Bien que parfaitement archaïque, âgée d’environ 3000 ans, cette gamme est encore en usage y compris en Occident.

Cette échelle, la gamme de Pythagore, marque profondément les consciences et l’harmonie des sphères, directement associée aux spéculations pythagoriciennes, sera débattue par de nombreux chercheurs jusqu’à aujourd’hui. Ainsi, Joscelyn Godwin, professeur à Colgate University (New-York) a publié en 1987 un ouvrage faisant magistralement le tour de ces questions, traduit en français sous le titre : “Les harmonies du ciel et de la terre”, sous-titré, “La dimension spirituelle de la musique”. De même, les compositeurs, adeptes de la “juste intonation”, agitent des réflexions de cette nature.


Considérations pratiques et esthétiques

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Illustration sous licence GNU FDL empruntée à Wikipedia

Si# est différent de do, mais puisque nous sommes dans l’obligation d’inscrire la gamme dans une octave, la solution choisie consiste à raccourcir la dernière quinte d’un Comma pythagoricien. Cette quinte, mi#/si# (ou fa/do par enharmonie) est très fausse ; c’est une quinte du loup. Conséquemment, transpositions et modulations à l’identique (en retrouvant la même échelle) sont impossibles.

Si l’on en croit M. Dussaut, qui fut professeur au Conservatoire de Paris et 1er grand Prix de Rome, la gamme de Pythagore est considérée comme la plus expressive pour les lignes mélodiques et serait naturellement utilisée par un chanteur a cappella. En outre, tous les instruments accordés en quinte ou en quarte prédisposent à cet usage. Il s’est livré à des expériences sur le violon d’où il ressort qu’il est impossible au violoniste de jouer dans un autre système que le pythagoricien par le simple fait même que l’instrument est accordé en quintes pures.

Avec la fin de l’époque médiévale arrive la polyphonie et la renaissance se distingue d’abord par un retour aux sources. On revisite les théories anciennes (voir “Au nom de la rose”), on redécouvre Pythagore et Aristoxène, on oppose Platon et Aristote [1]...

On considère que la polyphonie s’est construite en rapportant progressivement des degrés plus éloignés, du plus consonant au plus dissonant. Vient donc en premier, l’octave puis la quinte (ou la quarte qui est une conséquence de la quinte), la tierce, la septième, la neuvième, etc.… On peut aussi, avec ce que l’on sait maintenant se demander quelle quinte, quelle tierce furent rapportées ?

Dans la gamme de Pythagore, les quintes sont pures. Elles semblent par contre impropre aux accords simultanés de 3 sons puisque la tierce majeure y est très haute et sonne mal [2]. En effet, on connaît précisément la valeur de la tierce pure 5/4 qui, comparée à la tierce pythagoricienne 81/64, donne une différence de 81/80 soit, 21,5 Cents, ce qui semble inacceptable pour l’oreille. On va donc rechercher un autre modèle que la gamme de Pythagore et trouver (ou plutôt retrouver) la gamme d’Aristoxène.

Cependant le modèle pythagoricien satisfait pleinement aux nécessités des premières expressions polyphoniques. Dans l’Organum français, par exemple, la deuxième voix évolue strictement en quartes ou quintes parallèles. On a donc là une consonance parfaite.
Mais dans le même temps Le Gymel anglais fait évoluer la deuxième voix à la tierce… On peut penser que la gamme utilisée alors est la gamme d’Aristoxène (ou de ce type), dont le premier mérite est d’ajuster les tierces . Mais comment en être certain ?

L’accord parfait faisant entendre simultanément tierce et quinte, en somme synthèse des pratiques anglaises et françaises, a pourtant pu se développer, d’après Chailley, à partir du système pythagoricien pour évoluer vers le système d’Aristoxène avec Zarlino. On serait passé alors d’une gamme aux harmonies très tendues, avec ses tierces dissonantes, à une harmonie très adoucie avec les tierces naturelles. On peut aussi se demander si les deux gammes ne coexistaient pas…

Pythagore

Toutes les citations sont extraites de “Le mystère des nombres” de Lucien Gérardin, éd. Dangles.

« Pour Pythagore, l’Univers est organisé et il créa à cet effet le terme de “Cosmos”. Il n’y a pas de hasard, mais des harmonies. Le Cosmos se révèle un projet intelligent et réfute l’explication par la nécessité aveugle. Les nombres et leurs rapports servent tout naturellement à exprimer cette harmonie. » L. Gérardin, Page 72

« Un sage comme Pythagore recherchait la connaissance, c’est-à-dire cette expérience personnelle transcendante qui dépasse les savoirs intellectuels en les intégrant profondément à l’intelligence humaine. » L. Gérardin, Page 73

« Voici la vraie méthode scientifique : toute figure géométrique, tout système de nombres, toute proportion harmonieuse et enfin tout chœur de révolutions sidérales révèlent nécessairement à celui qui les étudie méthodiquement une profonde unité. Cette unité apparaît quand on investigue correctement, en la recherchant, car, à la réflexion, il sautera aux yeux que les liens profonds relient tous les phénomènes. si l’on menait l’étude sans ce principe directeur, on en serait réduit à invoquer le hasard. » Platon. Page 74

Aristote, parlant des pythagoriciens : « Ils furent les premiers à s’adonner aux mathématiques auxquelles ils firent faire de grands progrès. Comme ils étaient pénétrés de cette science, ils estimèrent que ses principes constituaient les racines de toutes choses. De ces principes mathématiques, les nombres sont les plus primitifs. Les pythagoriciens percevaient les analogies de ces nombres avec ce qui est et ce qui devient, analogies qu’ils trouvaient plus directes que les analogies des choses avec des principes comme les éléments (feu, air, terre, eau). Ils constataient en outre que les nombres expriment les propriétés et les raisons des harmonies. Comme enfin toutes choses leur paraissent être dans leur nature formées à la ressemblance des nombres, et puisque les nombres étaient pour eux les réalités premières du Cosmos, les pythagoriciens considérèrent que les principes des nombres étaient les éléments de toutes choses. » Aristote, Page 75

« Le démiurge a formé l’Âme du Monde avant le corps de celui-ci. Partant de la matière subtile parfaitement fixe et de la matière élémentaire décomposable, il a produit une matière intermédiaire entre ces deux extrêmes, et des trois a formé une seule qu’il a partagée en autant de parties qu’il fallait. En premier lieu, il a séparé du total une unité. Puis il a pris le double de cette unité ; ensuite une troisième partie égale à une fois et demi la seconde et trois fois la première ; une quatrième double de la seconde ; une cinquième triple de la troisième ; une sixième égale à huit fois la première ; une septième égale à vingt-sept fois la première. Il remplit les intervalles avec des parties du mélange primitif en les disposant de telle sorte qu’il y ait deux proportions dans chaque intervalle . Il forma ainsi des intervalles de Un plus Un Demi, Un plus Un Tiers, Un plus Un Huitième, Le démiurge remplit alors tous les intervalles de Un plus Un Tiers avec des intervalles de Un plus Un Huitième, laissant subsister des restes définis par le rapport de Deux Cent Cinquante-six à Deux Cent Quarante-Trois. » Platon, Page 96

Tout cela génère quatre séries, les trois premières sont des gammes pythagoriciennes parfaites et symbolisent la terre et l’orbe des planètes. la quatrième est irrégulière et symbolise le Ciel Chaotique des Etoiles Fixes.

- 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128, 2
- 2, 9/4, 81/32, 8/3, 3, 27/8, 243/64, 4
- 4, 9/2, 81/16, 16/3, 6, 27/4, 243/32, 8
- 8, 9, 27/2, 243/16, 2187/128, 18, 27.

La Tetrarktys est le symbole numérique du cosmos du temps de Pythagore… → 1 + 2 + 3 + 4 = 10. La connaissance de cette formule était jalousement gardée par les initiés.


Notes

[1] Les néo-platoniciens d’aujourd’hui considèrent que le bourbier contemporain découle largement de l’abandon du système platonicien au profit de celui d’Aristote…

[2] On dit qu’elle sonne "dure", alors que l’intervalle complémentaire de la tierce, la sixte mineure, elle, sonne "molle".

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