Flûte de Pan
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Acoustique

Les Outils Mathématiques

Les Unités

Savart
Exprime un intervalle. Le savart a été très utilisé par les acousticiens du fait de sa grande facilité d’utilisation.

L’intervalle en savarts entre deux fréquence est, par définition, le logarithme de leur rapport multiplié par mille.

Formule donnant la valeur en Savarts d’un intervalle quelconque
- S = 1000 x Log ( A / B )

Exemples :
combien vaut la quinte naturelle 3/2 en Savarts ?
- S = 1000 x Log ( 3 / 2 ) = 176,09… savarts
Combien y a-t-il de savarts entre La3 et La2 ?
- S = 1000 X Log ( 440/ 220 ) = 301,02… savarts

Cent

Une octave vaut 1200 Cents et un demi-ton ( en tempérament égal ) vaut 100 Cents.

Formule donnant la valeur en Cents d’un intervalle quelconque
- C = 3986,313713 x Log ( A / B )

Exemples :
Combien vaut en cents le ton naturel 9 / 8 ?
- C = 3986,313713 x Log ( 9 / 8 ) = 203,91 cents
Combien y a-t-il de cents entre La3 et La2 ?
- C = 3986,313713 x Log ( 440 / 220 ) = 1200 cents

Le cent est une unité moderne comparable au Savart. En effet, le recours au logarithme, avec l’usage de l’ordinateur, n’est plus nécessaire pour effectuer des calculs complexes. On utilise donc le Cent.

Cependant, un grand nombre de traités, intéressant pour nous, comme, par exemple, les ouvrages de Rodolphe d’Erlanger sur la musique arabe ou d’Alexis Chotin sur la musique du Maghreb ont été faits avant qu’on ne recoure au Cent et utilisent le Savart…

Manipulation de rapports

Les rapports
Les rapports expriment ce que les musiciens appellent les intervalles.

Explorer la série harmonique conduit à manipuler des rapports.

L’octave est égale au rapport 2/1 ( nous savons que La3 vaut 440 Hz et que La4 vaut 880 Hz, nous trouvons bien le rapport : 880/440 = 2/1 pour l’octave) et la quinte pure (on dit aussi parfois naturelle) vaut 3/2.

Pour additionner deux intervalles : soit A/B + C/D, il faut multiplier les numérateurs et les dénominateurs entre eux, soit A/B + C/D = A.C / B.D

Donc une octave + une quinte ( une douzième ) vaut (2/1) + (3/2) = (2X3) / (1X2) = 6/2 = 3/1

Pour soustraire un intervalle d’un autre : soit A/B - C/D, il faut faire A.D / B.C

Combien vaut une octave - une quinte ( une quarte ), soit ( 2/1) - (3/2) ?
- Une quarte vaut (2X2) / (1X3) = 4/3

A noter que les rapports élaborés par les théoriciens à partir du monocorde sont exprimés sous la forme 1/2 (et non pas 2/1...).

Les puissances
Élever un nombre y à la puissance x, c’est multiplier ce nombre par lui-même x fois

Exemple : 74 = 7 X 7 X 7 X 7 = 2401

Quel est le rapport exprimant 5 quintes empilées ?
- (3/2) + (3/2) + (3/2) + (3/2) + (3/2) = (3X3X3X3X3) / (2X2X2X2X2) =
35 / 25 = 243 / 32

Rappel

Les racines

Trouver la racine d’un nombre, par exemple, la racine quatrième de 81, c’est trouver le nombre qui, multiplié 4 fois par lui-même, donnera 81.

En acoustique, on utilise les racines carrées et les racines douzièmes de 2 (ces dernières permettent de calculer les fréquences des demi-tons égaux d’une gamme tempérée).

Ce sont des valeurs irrationnelles.

Rappel (pour solutionner) :
- Racine quatrième de 81 = 811/4 = 3
- Racine carrée de 10 = 101/2 = 3,1…
- Racine douzième de 3 = 31/12 = 1,0958…

Les logarithmes

Le rôle des logarithmes est important en acoustique, car les sensations sont liées aux phénomènes physiques par des lois logarithmiques. Dix violons jouant ensemble ne jouent pas dix fois plus forts qu’un seul (d’après les travaux de Fechner).

Par exemple, prenons une excitation E et une autre, double de la première 2E. Le rapport de ces deux excitations est 2E/E = 2. Mais le gain de sensation quand nous passons de l’une à l‘autre n’est pas égal à 2... Il est égal au logarithme de 2, soit seulement 0,3…

Les logarithmes servent également à calculer des intervalles à partir de la fréquence de deux sons (voir Savart).

Par ailleurs, les logarithmes furent utilisés pour simplifier des opérations, ce qui n’est plus nécessaire avec le recours aux calculettes, ordinateurs et autres bouliers chinois...

Les progression

Une progression est une suite de nombre dont chacun est relié au précédent par une même loi, une même raison.

La progression arithmétique de raison 1
- Elle est obtenue en ajoutant successivement 1 à partir de 1, soit : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; etc

La progression géométrique de raison 10
- C’est la série des puissances de 10, où chaque nombre est égal au précédent multiplié par 10, soit : 10 ; 100 ; 1000 ; 10000 ; 100000 ; etc

La série de Fibonacci [1].
Elle permet de trouver une bonne approximation du nombre d’or [2].

Chaque terme est la somme des deux nombres précédents, soit : 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; 55 ; etc. Le rapport des deux derniers donne une approximation de Φ [3]. Cette approximation est d’autant plus précise que la série est longue...
55/34 ≈ Φ = (1/2)(1+√5).


Notes

[1] Léonard de Pise, fils de Bonacci, 1170-1140. Il s’initie aux mathématiques en Algérie.

[2] La divine proportion est mise en évidence par Luca Pacioli, ami de Leonardo Da Vinci et de Dürer, en 1509.

[3] Le nombre d’or.

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